Termodimika mesin

Termodinamika (bahasa Yunani: thermos = 'panas' and dynamic = 'perubahan') adalah fisika energi , panas, kerja, entropi dan kespontanan proses. Termodinamika berhubungan dekat dengan mekanika statistik di mana banyak hubungan termodinamika berasal.

Pada sistem di mana terjadi proses perubahan wujud atau pertukaran energi, termodinamika klasik tidak berhubungan dengan kinetika reaksi (kecepatan suatu proses reaksi berlangsung). Karena alasan ini, penggunaan istilah "termodinamika" biasanya merujuk pada termodinamika setimbang. Dengan hubungan ini, konsep utama dalam termodinamika adalah proses kuasistatik, yang diidealkan, proses "super pelan". Proses termodinamika bergantung-waktu dipelajari dalam termodinamika tak-setimbang.

Karena termodinamika tidak berhubungan dengan konsep waktu, telah diusulkan bahwa termodinamika setimbang seharusnya dinamakan termostatik.

Hukum termodinamika kebenarannya sangat umum, dan hukum-hukum ini tidak bergantung kepada rincian dari interaksi atau sistem yang diteliti. Ini berarti mereka dapat diterapkan ke sistem di mana seseorang tidak tahu apa pun kecual perimbangan transfer energi dan wujud di antara mereka dan lingkungan. Contohnya termasuk perkiraan Einstein tentang emisi spontan dalam abad ke-20 dan riset sekarang ini tentang termodinamika benda hitam.

Daftar isi [sembunyikan] 1 Konsep dasar dalam termodinamika 2 Sistem termodinamika 3 Keadaan termodinamika 4 Hukum-hukum Dasar Termodinamika 5 Lihat pula

[sunting] Konsep dasar dalam termodinamika

Pengabstrakan dasar atas termodinamika adalah pembagian dunia menjadi sistem dibatasi oleh kenyataan atau ideal dari batasan. Sistem yang tidak termasuk dalam pertimbangan digolongkan sebagai lingkungan. Dan pembagian sistem menjadi subsistem masih mungkin terjadi, atau membentuk beberapa sistem menjadi sistem yang lebih besar. Biasanya sistem dapat diberikan keadaan yang dirinci dengan jelas yang dapat diuraikan menjadi beberapa parameter.

[sunting] Sistem termodinamika

Sistem termodinamika adalah bagian dari jagat raya yang diperhitungkan. Sebuah batasan yang nyata atau imajinasi memisahkan sistem dengan jagat raya, yang disebut lingkungan. Klasifikasi sistem termodinamika berdasarkan pada sifat batas sistem-lingkungan dan perpindahan materi, kalor dan entropi antara sistem dan lingkungan.

Ada tiga jenis sistem berdasarkan jenis pertukaran yang terjadi antara sistem dan lingkungan:

• sistem terisolasi: tak terjadi pertukaran panas, benda atau kerja dengan lingkungan. Contoh dari sistem terisolasi adalah wadah terisolasi, seperti tabung gas terisolasi.
• sistem tertutup: terjadi pertukaran energi (panas dan kerja) tetapi tidak terjadi pertukaran benda dengan lingkungan. Rumah hijau adalah contoh dari sistem tertutup di mana terjadi pertukaran panas tetapi tidak terjadi pertukaran kerja dengan lingkungan. Apakah suatu sistem terjadi pertukaran panas, kerja atau keduanya biasanya dipertimbangkan sebagai sifat pembatasnya:
  • pembatas adiabatik: tidak memperbolehkan pertukaran panas.
  • pembatas rigid: tidak memperbolehkan pertukaran kerja.
• sistem terbuka: terjadi pertukaran energi (panas dan kerja) dan benda dengan lingkungannya. Sebuah pembatas memperbolehkan pertukaran benda disebut permeabel. Samudra merupakan contoh dari sistem terbuka.

Dalam kenyataan, sebuah sistem tidak dapat terisolasi sepenuhnya dari lingkungan, karena pasti ada terjadi sedikit pencampuran, meskipun hanya penerimaan sedikit penarikan gravitasi. Dalam analisis sistem terisolasi, energi yang masuk ke sistem sama dengan energi yang keluar dari sistem.

[sunting] Keadaan termodinamika

Ketika sistem dalam keadaan seimbang dalam kondisi yang ditentukan, ini disebut dalam keadaan pasti (atau keadaan sistem).

Untuk keadaan termodinamika tertentu, banyak sifat dari sistem dispesifikasikan. Properti yang tidak tergantung dengan jalur di mana sistem itu membentuk keadaan tersebut, disebut fungsi keadaan dari sistem. Bagian selanjutnya dalam seksi ini hanya mempertimbangkan properti, yang merupakan fungsi keadaan.

Jumlah properti minimal yang harus dispesifikasikan untuk menjelaskan keadaan dari sistem tertentu ditentukan oleh Hukum fase Gibbs. Biasanya seseorang berhadapan dengan properti sistem yang lebih besar, dari jumlah minimal tersebut.

Pengembangan hubungan antara properti dari keadaan yang berlainan dimungkinkan. Persamaan keadaan adalah contoh dari hubungan tersebut.

[sunting] Hukum-hukum Dasar Termodinamika

Terdapat empat Hukum Dasar yang berlaku di dalam sistem termodinamika, yaitu:

• Hukum Awal (Zeroth Law) Termodinamika

Hukum ini menyatakan bahwa dua sistem dalam keadaan setimbang dengan sistem ketiga, maka ketiganya dalam saling setimbang satu dengan lainnya.

• Hukum Pertama Termodinamika

Hukum ini terkait dengan kekekalan energi. Hukum ini menyatakan perubahan energi dalam dari suatu sistem termodinamika tertutup sama dengan total dari jumlah energi kalor yang disuplai ke dalam sistem dan kerja yang dilakukan terhadap sistem.

• Hukum kedua Termodinamika

Hukum kedua termodinamika terkait dengan entropi. Hukum ini menyatakan bahwa total entropi dari suatu sistem termodinamika terisolasi cenderung untuk meningkat seiring dengan meningkatnya waktu, mendekati nilai maksimumnya.

• Hukum ketiga Termodinamika

Hukum ketiga termodinamika terkait dengan temperatur nol absolut. Hukum ini menyatakan bahwa pada saat suatu sistem mencapai temperatur nol absolut, semua proses akan berhenti dan entropi sistem akan mendekati nilai minimum. Hukum ini juga menyatakan bahwa entropi benda berstruktur kristal sempurna pada temperatur nol absolut bernilai nol.

Kecerdasan buatan

Kecerdasan Buatan (bahasa Inggris: Artificial Intelligence atau AI) didefinisikan sebagai kecerdasan yang ditunjukkan oleh suatu entitas buatan. Sistem seperti ini umumnya dianggap komputer. Kecerdasan diciptakan dan dimasukkan ke dalam suatu mesin (komputer) agar dapat melakukan pekerjaan seperti yang dapat dilakukan manusia. Beberapa macam bidang yang menggunakan kecerdasan buatan antara lain sistem pakar, permainan komputer (games), logika fuzzy, jaringan syaraf tiruan dan robotika.

Banyak hal yang kelihatannya sulit untuk kecerdasan manusia, tetapi untuk Informatika relatif tidak bermasalah. Seperti contoh: mentransformasikan persamaan, menyelesaikan persamaan integral, membuat permainan catur atau Backgammon. Di sisi lain, hal yang bagi manusia kelihatannya menuntut sedikit kecerdasan, sampai sekarang masih sulit untuk direalisasikan dalam Informatika. Seperti contoh: Pengenalan Obyek/Muka, bermain sepak bola.

Walaupun AI memiliki konotasi fiksi ilmiah yang kuat, AI membentuk cabang yang sangat penting pada ilmu komputer, berhubungan dengan perilaku, pembelajaran dan adaptasi yang cerdas dalam sebuah mesin. Penelitian dalam AI menyangkut pembuatan mesin untuk mengotomatisasikan tugas-tugas yang membutuhkan perilaku cerdas. Termasuk contohnya adalah pengendalian, perencanaan dan penjadwalan, kemampuan untuk menjawab diagnosa dan pertanyaan pelanggan, serta pengenalan tulisan tangan, suara dan wajah. Hal-hal seperti itu telah menjadi disiplin ilmu tersendiri, yang memusatkan perhatian pada penyediaan solusi masalah kehidupan yang nyata. Sistem AI sekarang ini sering digunakan dalam bidang ekonomi, obat-obatan, teknik dan militer, seperti yang telah dibangun dalam beberapa aplikasi perangkat lunak komputer rumah dan video game.

'Kecerdasan buatan' ini bukan hanya ingin mengerti apa itu sistem kecerdasan, tapi juga mengkonstruksinya.

Tidak ada definisi yang memuaskan untuk 'kecerdasan':

1. kecerdasan: kemampuan untuk memperoleh pengetahuan dan menggunakannya
2. atau kecerdasan yaitu apa yang diukur oleh sebuah 'Test Kecerdasan'

sejarah informasi

Pada awal sejarah, manusia bertukar informasi melalui bahasa. Maka bahasa adalah teknologi. Bahasa memungkinkan seseorang memahami informasi yang disampaikan oleh orang lain. Tetapi bahasa yang disampaikan dari mulut ke mulut hanya bertahan sebentar saja, yaitu hanya pada saat si pengirim menyampaikan informasi melalui ucapannya itu saja. Setelah ucapan itu selesai, maka informasi yang berada di tangan si penerima itu akan dilupakan dan tidak bisa disimpan lama. Selain itu jangkauan suara juga terbatas. Untuk jarak tertentu, meskipun masih terdengar, informasi yang disampaikan lewat bahasa suara akan terdegradasi bahkan hilang sama sekali.

Setelah itu teknologi penyampaian informasi berkembang melalui gambar. Dengan gambar jangkauan informasi bisa lebih jauh. Gambar ini bisa dibawa-bawa dan disampaikan kepada orang lain. Selain itu informasi yang ada akan bertahan lebih lama. Beberapa gambar peninggalan zaman purba masih ada sampai sekarang sehingga manusia sekarang dapat (mencoba) memahami informasi yang ingin disampaikan pembuatnya.

Ditemukannya alfabet dan angka arabik memudahkan cara penyampaian informasi yang lebih efisien dari cara yang sebelumnya. Suatu gambar yang mewakili suatu peristiwa dibuat dengan kombinasi alfabet, atau dengan penulisan angka, seperti MCMXLIII diganti dengan 1943. Teknologi dengan alfabet ini memudahkan dalam penulisan informasi itu.

Kemudian, teknologi percetakan memungkinkan pengiriman informasi lebih cepat lagi. Teknologi elektronik seperti radio, tv, komputer mengakibatkan informasi menjadi lebih cepat tersebar di area yang lebih luas dan lebih lama tersimpan.

logika dan algoritma

Logika dan Algoritma

Diperkenalkan Oleh Ahli Matematika : Abu Ja’far Muhammad Ibnu Musa Al Khawarizmi.

Definisi Algoritma

1. Langkah-langkah yang dilakukan agar solusi masalah dapat diperoleh

2. Suatu prosedur yang merupakan urutan langkah-langkah yang berintegrasi

3. Suatu metode khusus yang digunakan untuk menyelesaikan suatu masalah yang nyata.(Webster Dictionary)

Kriteria Pemilihan Algoritma

1. Ada output: mengacu pada definisi algoritma, suatu algoritma haruslah mempunyai output yang harus merupakan solusi dari masalah yang sedang diselesaikan.

2. Efektifitas dan Efisiensi ikatakan efektif jika algoritma tersebut menghasilkan suatu solusi yang sesuai dengan masalah yang diselesaikan dalam arti algoritma harus tepat guna.Dikatakan efisiensi jika waktu proses suatu algoritma relatif lebih singkat dan penggunaan memori komputernya lebih sedikit.

3. Jumlah langkahnya berhingga : maksudnya adalah barisan instruksi yang dibuat harus dalam suatu urutan tertentu atau harus berhingga agar masalah yang dihadapi dapat diselesaikan dengan tidak memerlukan waktu relatif lama.

4. Berakhir à (Semi Algoritma) : proses didalam mencari penyelesaian suatu masalah harus berhenti dan berakhir dengan hasil akhir yang merupakan solusinya atau berupa informasi yang tidak diketemukan solusinya. Artinya baik dalam kondisi solusi ada atau tidak ada, proses akan tetap harus berakhir dan berhenti. Istilah lain dalam algoritma dikenal sebagai SEMI ALGORITMA, yaitu suatu prosedur yang hanya akan berhenti jika mempunyai atau menghasilkan solusi, sedangkan jika tidak menghasilkan solusi, maka prosedur tersebut akan berjalan tanpa henti.

5. Terstruktur : yaitu urutan barisan langkah-langkah yang digunakan harus disusun sedemikian rupa agar proses penyelesaian tidak berbelit-belit sedemikian sehingga bagian-bagian proses dapat dibedakan dengan jelas mana bagian input, proses dan output sehingga memudahkan user melakukan pemeriksaan ulang.

Kesimpulannya:

Suatu Algoritma yang terbaik(The Best) : “Suatu algoritma harus menghasilkan output yan tepat guna(efektif) dalam waktu yang relatif singkat & penggunaan memori yang relatif sedikit(efisien) dengan langkah yang berhingga & prosedurnya berakhir baik dalam keadan diperoleh suatu solusi ataupun tidak ada solusinya”

Contoh:

A. Algoritma untuk mengirimkan surat

1. Tulis surat pada secarik kertas surat

2. Ambil sampul surat atau amplop

3. Masukkan surat ke dalam amplop

4. Tutup amplop surat dengan lem perekat

5. Tulis alamat surat yang dituju, jika tidak diingat, lebih dahulu ambil buku alamat & cari alamat yang dituju, lalu tulis alamat tersebut pada amplop surat

6. Tempelkan perangko pada amplop surat

7. Bawa surat ke kantor pos untuk diserahkan pada pegawai pos atau menuju ke bis surat untuk memasukkan surat ke dalam kotak/bis surat.

B. Algoritma untuk menentukan bilangan akar kuadrat dari suatu bilangan bulat positif yang diinput.

1. Baca bilangan bulat positif yang diinput, sebut saja sebagai A.

2. Dinyatakan Nilai B adalah 0

3. Jika Nilai C sama dengan Nilai A, maka Nilai B adalah Akar dari Nilai A, lalu stop

4. Jika tidak, maka nilai B akan bertambah 1

5. Kembali ke langkah pada No.3

Tahapan Analisa Algoritma

1. Bagaimana merencakan suatu algoritma:

Menentukan beberapa model atau desain sebagai penyelesaian dari suatu masalah untuk mendapat sebuah solusi yan mungkin. Dengan demikian, akan banyak terdapat variasi desain atau model yang dapat diambil yang terbaik.

2. Bagaimana menyatakan suatu algoritma

Menentukan model suatu algoritma yang digunakan sehingga dapat membuat barisan langkah secara berurutan guna mendapatkan solusi penyelesaian masalah. Menentukan model tersebut agar dapat digunakan dengan cara:

- Dengan Bahasa semu(Pseudocode): yaitu dengan menggunakan bahasa sehari-hari, tetapi harus jelas dan terstruktur, seperti telah penulis sebutkan pada contoh-contoh sebelumnya(Contoh prosedur berikirm surat)

Contoh:

1. Untuk mengitung Luas Segitiga:

2. Masukan Nilai Alas

3. Masukan Nilai Tinggi

4. Hitung Luas = (Alas * Tinggi)/2

5. Cetak Luas

- Dengan diagram alur atau flowchart: yaitu dengan membuat suatu penulisan atau penyajian algoritma berupa diagram yang menggambarkan susunan alur logika dari suatu permasalahan

Contoh:

- Dengan Statement Program/Penggalan Program

Contoh:

1. Read Alas

2. Read Tinggi

3. Luas=(Alas*Tinggi)/2

4. Write(luas)

3. Bagaimana validitas suatu algoritma

Yakni jika penyelesaian memenuhi solusi yang sebenarnya, artinya solusi yang didapat merupakan penyelesaian suatu masalah dan bukannya membuat masalah baru.

4. Bagaimana menganalisa suatu algoritma

Caranya melihat running time atau waktu tempuh yang digunakan dalam menyelesaikan masalah serta jumlah memori yang digunakan dalam penyelesaian masalah tersebut.

5. Bagaimana menguji program dari suatu algoritma

Yaitu dengan cara menyajikannya dalam salah satu bahasa pemrogramana, misalnya BASIC, PASCAL, FORTRAN, dBase, atau yang lainnya. Dalam proses, uji program oleh komputer akan melalui beberapa tahap yaitu:

1. Fase Debugging, yaitu fase dari suatu proses program eksekusi yang akan melakukan koreksi terhadap kesalahan program. Yang dimaksud disni adalah error atau salah dalam penulisan program baik logika maupun sintaksnya.

2. Fase Profilling, yaitu fase yang akan bekerja jika program tersebut sudah benar atau telah melalui proses pada fase debugging. Fase ini bekerja untuk melihat dan mengukur waktu tempuh atau running time yang diperlukan serta jumlah memori/storage yang digunakan dalam menyelesaikan suatu algoritma.

ANALISIS SUATU ALGORITMA

(Untuk melihat faktor efisiensi & efektifitas dari algoritma tersebut), dapat dilakukan terhadap suatu algoritma dengan melihat pada:

- Waktu tempu(Running Time) dari suatu algoritma: adalah satuan waktu yang ditempuh atau diperlukan oleh suatu algoritma dalam menyelesaikan suatu masalah.

Hal-hal yang dapat mempengaruhi daripada waktu tempuh adalah:

1. Banyaknya langkah: Makin banyak langkah atau instruksi yang digunakan dalam menyelesaikan masalah, maka makin lama waktu tempuh yang dibutuhkan dalam proses tersebut

2. Besar dan jenis input data: Besar dan jenis input data pada suatu algoritma akan sangat berpengaruh pada proses perhitugan yang terjadi. Jika jenis data adalah tingkat ketelitian tunggal(Single precision), maka waktu tempuh akan menjadi relatif lebih cepat dibandingkan dengan tingkat ketelitian ganda(double precesion)

3. Jenis operasi: Waktu tempuh juga dipengaruhi oleh jenis operasi yang digunakan. Jenis operasi tersebut meliputi operasi matematika, nalar atau logika, atau yang lainnya. Sebagai contoh, operasi perkalian atau pembagian akan memakan waktu lebih lama dibandingkan operasi penjumlahan atau pengurangan.

4. Komputer dan kompilator: hal terakhir yang mempengaruhi waktu tempuh suatu proses algoritma adalah komputer dan kompilatornya, walaupun sebenarnya faktor ini diluar tahap rancangan atau tahap pembuatan algoritma yang efisien. Algoritma dibuat untuk mencapai waktu tempuh yang seefektif dan seefisien mungkin, tetapi kesemuanya itu akan sangat bergantung pada kemampuan komputer yang tentunya harus sesuai dengan jumlah program atau langkah yang diperlukan oleh algoritma, begitu juga dengan kompilator tersebut, misalnya PC XT 8086 akan kalah cepat dibandingkan 8088 atau dengan AT 80286 atau 80386 atau 80486 dan seterusnya

- Jumlah Memori Yang digunakan: banyaknya langkah yang digunakan dan jenis variabel data yang dipakai dalam suatu algoritma akan sangat mempengaruhi penggunaan memori. Dalm hal ini, diharapkan dapat memperkirakan seberapa banyak kebutuhan memori yang diperlukan selama proses berlangsung hingga proses selesai dikerjakan. Dengan demikian, dapat disiapkan storage yang memadai agar proses suatu algoritma berjalan tanpa ada hambatan atau kekurangan memori.

Sifat-Sifat Algoritma

- Banyaknya langkah instruksi harus berhingga: pelaksanaan sebuah algoritma yang terprogram haruslah dapat diakhiri atau diselesaikan melalui sejumlah langkah operasional yang berhingga. Jika tidak demikian, kita tidak akan dapat mengharapkan bahwa pelaksaan algoritma tersebut dapat menghasilkan suatu solusi yang baik.

- Langkah atau instruksi harus jelas: artinya bahwa penulisa setiap langkah yang terdapat didalam sebuah algoritma harus memiliki arti yang khusus atau spesifik sehingga dapat dibedakan antara penulisan langkah untuk komputer(program/pemrograman) dengan penulisan langkah bagi manusia(pesudocode). Manusia akan lebih mudah memahami algoritma yang terdiri atas simbol-simbol(Contoh: pembuatan algoritma dengan diagram alur/flowchart) sedangkan komputer hanya membutuhkan sebuah penulisan algoritma dengan kode-kode yang dituangkan dalam bahasa yang dimengerti oleh komputer itu sendiri(bahasa pemrograman).

- Proses harus jelas dan mempunyai batasan: rangkaian suatu proses yang berisi langkah-langkah instruksi dari suatu algoritma yang akan dilaksanakn harus ditetapkan dengna jelas, baik dan pasti sebab sebuah algoritma harus memiliki instruksi dasar tertentu dimana setiap instruksi harus memiliki unsur pelaksana yang berfungsi sebagai pemroses data yang akan dimasukkan dalam sebuah komputer. Dengan demikian, sebuah algoritma harus ditulis dengan jelas tentang batasa-batasan proses yang akan dilaksanakan oleh komputer.

- Input dan Output harus mempunyai batasan: input merupakan data yang dimasukkan ke dalam algoritma yang untuk kemudian akan dilaksanakan oleh komputer. Dengan begitu, input yang diberikan harus sesuai dengan jenis dari bahasa pemrograman yang digunakan, sedangkan ouput merupakan hasil yang diperoleh dari pekerjaan yang dilaksanakan komputer untuk kepentingan user yang merupakan pihak diluar komputer. Algoritma harus menghasilkan output karena merupaka solusi yang diharapkan dari suatu masalah yang timbul.

- Efektifitas: instruksi yang diberikan pada komputer agar hanya menjalankan atau melaksanakan proses yang mampu dilaksanakannya. Yang dimaksud mampu adalah bahwa suatu algoritma atau instruksi-instruksi dalam sebuah program hanya akan dapat dilaksanakan jika informasi yang diberikan oleh instruksi-instruksi tersebut lengkap, benar dan jelas.

- Adanya batasan ruang lingkup, sebuah algoritma yang baik adalah hanya ditujukan bagi suatu masalah tertentu saja. Susunana input harus ditentukan lebih dulu sebab susunan tersebut enentukan sifat umum dari algoritma yang bersangkutan.

landing pesawat

Jawaban ini belum tentu benar. Jika ada yang punya jawaban berbeda, mohon di share dan didiskusikan bersama. Terima kasih.

Soal No 1 :

Buktikan dengan induksi matematika pernyataan berikut:

a. n! ≤ 2 ⁿ untuk n > 3

Jawab :

Terdapat beberapa langkah pembuktian dengan induksi matematika:

Langkah 1:

Menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n₀ = 4.

n = 4 maka 4! ≤ 2⁴

4.3.2.1 ≤ 16

24 > 16

Jadi pernyataan n! ≤ 2 ⁿ untuk n > 3 tidak benar (salah) untuk n = 4

Dengan demikian pembuktian selesai, pernyataan tersebut tidak benar.

b. (1!) + 2 (2!) + 3 (3!) + … + n (n!) = ( n + 1 )! – 1

Jawab:

Terdapat beberapa langkah pembuktian dengan induksi matematika:

Langkah 1:

Menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n₀ = 1.

n = 1 maka 1 (1!) = (1 + 1)! – 1

1.1 = 2! – 1

1 = 2 – 1

1 = 1

Jadi pernyataan tersebut benar untuk n = 1

Langkah 2:

Menunjukkan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk n = k, maka pernyataan tersebut juga benar untuk n = k + 1. Hal ini dilakukan dengan cara :

• Mengasumsikan pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1, yaitu

n = k maka 1 (1!) + 2 (2!) + 3 (3!) + … + k (k!) = ( k + 1 )! – 1

• Selanjutnya akan ditunjukkan pernyataan tersebut juga benar untuk n = k + 1.

Dari asssumsi diatas :

1 (1!) + 2 (2!) + 3 (3!) + … + k (k!) = ( k + 1 )! – 1

Tambahkan (k + 1) ( k + 1 )! pada kedua ruas.

1 (1!) + 2 (2!) + 3 (3!) + … + k (k!) + (k + 1) (k + 1)! = (k + 1)! – 1 + (k+1)(k+1)!

1 (1!) + 2 (2!) + 3 (3!) + … + k (k!) + (k + 1) (k + 1)! = (k + 1)! + (k+1)(k+1)! – 1

1 (1!) + 2 (2!) + 3 (3!) + … + k (k!) + (k + 1) (k + 1)! = (k + 1)! (1 + (k+1)) – 1

1 (1!) + 2 (2!) + 3 (3!) + … + k (k!) + (k + 1) (k + 1)! = (k + 1)! (k +1 + 1) – 1

1 (1!) + 2 (2!) + 3 (3!) + … + k (k!) + (k + 1) (k + 1)! = (k + 1)! (k+2) – 1

1 (1!) + 2 (2!) + 3 (3!) + … + k (k!) + (k + 1) (k + 1)! = (k + 2)(k + 1)! – 1

1 (1!) + 2 (2!) + 3 (3!) + … + k (k!) + (k + 1) (k + 1)! = (k + 2)! – 1

1 (1!) + 2 (2!) + 3 (3!) + … + k (k!) + (k + 1) (k + 1)! = ((k + 1)+1)!– 1

Jadi pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1

Pembuktian selesai

c.

Jawab:

Langkah 1:

Menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n₀ = 1.

n = 1 maka

Jadi pernyataan tidak benar untuk n = 1

Dengan demikian pembuktian selesai, pernyataan tersebut tidak benar.

d.

Jawab:

Langkah 1:

Menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n₀ = 1.

n = 1 maka 2 = 2 + (1 – 1) 2¹⁺¹

2 = 2 + 0 . 2²

2 = 2 + 0

2 = 2

Jadi pernyataan tersebut benar untuk n = 1

Langkah 2:

Menunjukkan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk n = k, maka pernyataan tersebut juga benar untuk n = k + 1. Hal ini dilakukan dengan cara :

• Mengasumsikan pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1, yaitu

n = k maka 2 + 8 + 24 + … + k 2^k = 2 + (k – 1) 2^k+1

• Selanjutnya akan ditunjukkan pernyataan tersebut juga benar untuk n = k + 1.

Dari asssumsi diatas :

2 + 8 + 24 + … + k 2^k = 2 + (k – 1) 2^k+1

Tambahkan (k + 1) 2^k+1 pada kedua ruas.

2 + 8 + 24 + … + k 2^k + (k + 1) 2^k+1 = 2 + (k – 1) 2^k+1 + (k + 1) 2^k+1

2 + 8 + 24 + … + k 2^k + (k + 1) 2^k+1 = 2 + 2^k+1 ((k – 1) + (k + 1))

2 + 8 + 24 + … + k 2^k + (k + 1) 2^k+1 = 2 + 2^k+1 ( k -1 + k + 1)

2 + 8 + 24 + … + k 2^k + (k + 1) 2^k+1 = 2 + 2^k+1 ( 2k)

2 + 8 + 24 + … + k 2^k + (k + 1) 2^k+1 = 2 + 2^k+1 .2( k)

2 + 8 + 24 + … + k 2^k + (k + 1) 2^k+1 = 2 + 2^k+1+1 (k)

2 + 8 + 24 + … + k 2^k + (k + 1) 2^k+1 = 2 + 2 ^k+1+1 ( k )

2 + 8 + 24 + … + k 2^k + (k + 1) 2^k+1 = 2 + ( k ) 2 ^(k+1)+1

2 + 8 + 24 + … + k 2^k + (k + 1) 2^k+1 = 2 + ( k + 0 ) 2 ^(k+1)+1

2 + 8 + 24 + … + k 2^k + (k + 1) 2^k+1 = 2 + ( k + 1 – 1 ) 2 ^(k+1)+1

2 + 8 + 24 + … + k 2^k + (k + 1) 2^k+1 = 2 + ( (k + 1) – 1 ) 2 ^(k+1)+1

Jadi pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1

Pembuktian selesai

Soal No 2:

Diketahui matriks Hitunglah determinan dan inversnya.

Jawab :

Determinan matriks =

Operasi pada baris ke- 2 : baris ke-2 dikurang (-2) kali baris ke-1

Operasi pada baris ke- 3 : baris ke-3 dikurang (-1) baris ke-1

=

Operasi pada baris ke- 3 : baris ke-3 dikurang (-4) kali baris ke-2

Operasi pada baris ke- 4 : baris ke-4 dikurang (-4) kali baris ke-2

=

Operasi pada baris ke- 4 : baris ke-4 dikurang baris ke-3

=

= (-1) x (-1 ) x 11 x

= – 47

Invers matriks

Operasi baris elementer

Operasi pada baris ke- 2 : baris ke-2 dikurang (-2) kali baris ke-1

Operasi pada baris ke- 3 : baris ke-3 dikurang (-1) baris ke-1

=

Operasi pada baris ke-3 : baris ke-3 dikurang (-4) kali baris ke-2

Operasi pada baris ke-4 : baris ke-4 dikurang (-4) kali baris ke-2

=

Operasi pada baris ke-4 : 11 kali Baris ke-4 dikurang 13 kali baris ke-3

=

Operasi pada baris ke -1 : 47 kali Baris ke-1 tambah 3 kali baris ke-4

Operasi pada baris ke -2 : 47 kali baris ke-2 tambah 7 kali baris ke-4

Operasi pada baris ke -3 : 47 kali baris ke-3 tambah 29 baris ke-4.

=

Operasi pada baris ke -2 : 517 kali baris ke-2 kurang 141 kali baris ke-3

=

Operasi pada baris ke -1 : 24299 kali baris ke-1 kurang 94 kali baris ke-2

=

Operasi pada baris ke -1 : baris ke-1 kali

Operasi pada baris ke -2 : baris ke-2 kali

Operasi pada baris ke -3 : baris ke-3 kali

Operasi pada baris ke -4 : baris ke-4 kali

=

Jadi invers matriksnya =

1. Soal :

Ubahlah ekpresi rekursif berikut menjadi non rekursif.

1. 1. 
      

Jawab :

Persamaan Karakteristik homogen

f

: x^n-2

(n) = xⁿ

xⁿ = 4x^{n 1} + 12x^n-2

x² = 4x + 12

x² – 4x – 12 = 0

(x + 3) (x – 4) = 0

Persamaan Karakteristik non homogen

2ⁿ n  c = 2, d = 1

 (x – 2)^{1 + 1} = (x – 2)²

(x + 3) (x – 4) (x – 2)² = 0

x₁ = -3 x₂ = 4 x₃ = x₄ = 2

f(n) = c₁ x₁ⁿ + c₂ x₂ⁿ + (c₃ + c₄ n) x₃ⁿ

f(n) = c₁ (-3)ⁿ + c₂ (4)ⁿ + (c₃ + c₄ n) 2ⁿ

n = 1  f(1) = c₁ (-3)¹ + c₂ (4)¹ + (c₃ + c₄ 1) 2¹ = 1² + 1

f(1) = – 3 c₁ + 4 c₂ + 2 c₃ + 2 c₄ = 2

n = 2  f(2) = c₁ (-3)² + c₂ (4)² + (c₃ + c₄ 2) 2² = 2² + 1

f(2) = 9 c₁ + 16 c₂ + 4 c₃ + 8 c₄ = 5

n = 3  f(3) = c₁ (-3)³ + c₂ (4)³ + (c₃ + c₄ 3) 2³ = 4 f (3 – 1)+ 12 f (3 -2) + 2³ .3

f(3) = – 27 c₁ + 64 c₂ + 8 c₃ + 24 c₄ = 4 f (2)+ 12 f (1) + 24

f(3) = – 27 c₁ + 64 c₂ + 8 c₃ + 24 c₄ = 4.5+ 12.2 + 24

f(3) = – 27 c₁ + 64 c₂ + 8 c₃ + 24 c₄ = 20+ 24 + 24

f(3) = – 27 c₁ + 64 c₂ + 8 c₃ + 24 c₄ = 68

n = 4  f(4) = c₁ (-3)⁴ + c₂ (4)⁴ + (c₃ + c₄ 4) 2⁴ = 4 f (4 – 1)+ 12 f (4 -2) + 2⁴ .4

f(4) = 81 c₁ + 256 c₂ + 16 c₃ + 64 c₄ = 4 f (3)+ 12 f (2) + 64

f(4) = 81 c₁ + 256 c₂ + 16 c₃ + 64 c₄ = 4.68+ 12.5 + 64

f(4) = 81 c₁ + 256 c₂ + 16 c₃ + 64 c₄ = 272+ 60 + 64

f(4) = 81 c₁ + 256 c₂ + 16 c₃ + 64 c₄ = 396

Untuk mencari nilai c₁, c₂, c₃, c₄ dapat dilakukan dengan metode eliminasi, substitusi atau dengan eliminasi gauss. Dalam hal ini kita selesaikan dengan menggunakan eliminasi gauss.

=

1. 1. 
      

Substitusi n = 3^m , m = ³ log n

Substitusi f(3^m) = g(m)

Persamaan Karakteristik homogen

g

: x^m-2

(m) = x^m

x^m = 2x^{m 1} + 10x^m-2

x² = 2x + 10

x² – 2x + 10 = 0

Persamaan Karakteristik non homogen

2ⁿ n  c = 2, d = 1

 (x – 2)^{1 + 1} = (x – 2)²

(x + 3) (x – 4) (x – 2)² = 0

x₁ = -3 x₂ = 4 x₃ = x₄ = 2

f(n) = c₁ x₁ⁿ + c₂ x₂ⁿ + (c₃ + c₄ n) x₃ⁿ

f(n) = c₁ (-3)ⁿ + c₂ (4)ⁿ + (c₃ + c₄ n) 2ⁿ

n = 1  f(1) = c₁ (-3)¹ + c₂ (4)¹ + (c₃ + c₄ 1) 2¹ = 1² + 1

f(1) = – 3 c₁ + 4 c₂ + 2 c₃ + 2 c₄ = 2

n = 2  f(2) = c₁ (-3)² + c₂ (4)² + (c₃ + c₄ 2) 2² = 2² + 1

f(2) = 9 c₁ + 16 c₂ + 4 c₃ + 8 c₄ = 5

n = 3  f(3) = c₁ (-3)³ + c₂ (4)³ + (c₃ + c₄ 3) 2³ = 4 f (3 – 1)+ 12 f (3 -2) + 2³ .3

f(3) = – 27 c₁ + 64 c₂ + 8 c₃ + 24 c₄ = 4 f (2)+ 12 f (1) + 24

f(3) = – 27 c₁ + 64 c₂ + 8 c₃ + 24 c₄ = 4.5+ 12.2 + 24

f(3) = – 27 c₁ + 64 c₂ + 8 c₃ + 24 c₄ = 20+ 24 + 24

f(3) = – 27 c₁ + 64 c₂ + 8 c₃ + 24 c₄ = 68

n = 4  f(4) = c₁ (-3)⁴ + c₂ (4)⁴ + (c₃ + c₄ 4) 2⁴ = 4 f (4 – 1)+ 12 f (4 -2) + 2⁴ .4

f(4) = 81 c₁ + 256 c₂ + 16 c₃ + 64 c₄ = 4 f (3)+ 12 f (2) + 64

f(4) = 81 c₁ + 256 c₂ + 16 c₃ + 64 c₄ = 4.68+ 12.5 + 64

f(4) = 81 c₁ + 256 c₂ + 16 c₃ + 64 c₄ = 272+ 60 + 64

f(4) = 81 c₁ + 256 c₂ + 16 c₃ + 64 c₄ = 396

menentukan bilangan prima

main()
{ char nama [20];
int telat
clrscr();
cout <<"masukan nama:";
cin>>"nama;
cout<<"lama telat:";
cin>>"lama telat:";
if (telat <=10)cout<<"anda boleh masuk";
else//selain dari itu
cout<<"anda tidak boleh masuk";
getch();
}